پاسخ فعالیت صفحه 7 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۷ ریاضی دهم سلام! این فعالیت در مورد **اعداد گویا** و مفهوم **بی‌نهایت** در مجموعه‌هاست. بیایید گام به گام جلو بریم: ### الف) یافتن چهار عدد گویای بین ۰ و ۱ **اعداد گویا** اعدادی هستند که می‌تونیم اون‌ها رو به صورت کسر $\frac{a}{b}$ بنویسیم، طوری که $a$ و $b$ اعداد صحیح باشند و $b \neq ۰$. **بازه‌ی $(۰, ۱)$** یعنی اعداد حقیقی‌ای که از ۰ بزرگتر و از ۱ کوچکتر باشن (خود ۰ و ۱ شامل نیستند). **چهار مثال:** 1. **$\\frac{۱}{۲}$:** (چون $\frac{۱}{۲} = ۰.۵$ و $۰ < ۰.۵ < ۱$) 2. **$\\frac{۱}{۴}$:** (چون $\frac{۱}{۴} = ۰.۲۵$ و $۰ < ۰.۲۵ < ۱$) 3. **$\\frac{۲}{۳}$:** (چون $\frac{۲}{۳} \approx ۰.۶۶$ و $۰ < ۰.۶۶ < ۱$) 4. **$\\frac{۹}{۱۰}$:** (چون $\frac{۹}{۱۰} = ۰.۹$ و $۰ < ۰.۹ < ۱$) **مقایسه با دوستان:** احتمالاً پاسخ شما با دوستتون فرق داره! چرا؟ چون بین ۰ و ۱ **بی‌نهایت** عدد گویا وجود داره. این اولین سرنخ برای بخش‌های بعدی فعالیته! --- ### ب) آیا می‌توان بین ۰ و ۱ به هر تعداد دلخواه عدد گویا ارائه کرد؟ **پاسخ: بله!** * این خاصیت اعداد گویا رو **چگالی** (Density) می‌گن. خاصیت چگالی به زبان ساده میگه: **بین هر دو عدد گویای متمایز، بی‌نهایت عدد گویای دیگه وجود داره.** * مثلاً بین $\frac{۱}{۲}$ و $\frac{۱}{۳}$ (که هر دو بین ۰ و ۱ هستند) می‌تونیم بی‌نهایت عدد گویا پیدا کنیم. یکی از روش‌ها اینه که کسرها رو هم‌مخرج کنیم و صورت‌های جدید پیدا کنیم (مثل میانگین گرفتن از دو عدد). * پس، بین ۰ و ۱ می‌تونید هر تعداد دلخواهی (حتی یک میلیارد!) عدد گویا پیدا کنید و بنویسید. --- ### پ) در مورد متناهی یا نامتناهی بودن اعداد گویای موجود در بازه‌ی $(۰, ۱)$ چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟ * چون می‌تونیم **هر تعداد دلخواه** (نامحدود) عدد گویا بین ۰ و ۱ ارائه کنیم (بر اساس پاسخ 'ب')، پس مجموعه‌ی اعداد گویای موجود در بازه‌ی $(۰, ۱)$ **نامتناهی** است. $$\{\text{اعداد گویای بازه‌ی } (۰, ۱)\} \text{ نامتناهی است.}$$ --- ### ت) در مورد متناهی یا نامتناهی بودن مجموعه‌ی $\mathbb{Q}$ چه می‌توان گفت؟ * مجموعه‌ی $\mathbb{Q}$ نماد **مجموعه‌ی تمام اعداد گویا** است. * اگر فقط بخشی از اعداد گویا (یعنی اعداد بین ۰ و ۱) نامتناهی باشند، پس مجموعه‌ی $\mathbb{Q}$ که شامل **همه‌ی** این اعداد و اعداد صحیح و اعداد گویای دیگر است، قطعاً **نامتناهی** خواهد بود. $$\mathbb{Q} \text{ (مجموعه اعداد گویا) نامتناهی است.}$$ --- ### ث) اگر $\text{A}$ دارای یک زیر مجموعه نامتناهی باشد، آنگاه $\text{A}$ یک مجموعه $\dots\dots\dots\dots\dots$ خواهد بود. * تصور کنید مجموعه‌ی $\text{A}$ یک انبار است. * اگر این انبار یک بخش نامتناهی (بی‌پایان) مثل ($\mathbb{Q}$) داشته باشد، آیا خود انبار می‌تونه متناهی (محدود) باشه؟ * خیر! اگه یک قسمت از کل (زیرمجموعه) بی‌نهایت باشه، پس خود کل (مجموعه‌ی $\text{A}$) هم باید **نامتناهی** باشه. * **اگر $\text{A}$ دارای یک زیر مجموعه نامتناهی باشد، آنگاه $\text{A}$ یک مجموعه نامتناهی خواهد بود.**